Можно. Но смотря насколько раньше. Может где-то на неделю, другую. Я свой последний паспорт получил где-то на неделю раньше. Если есть номер, под которым были оформлены документы, то смотришь на сайте готов ли паспорт.
Но когда я, после того как увидел на сайте "Паспорт готов", пришел за паспортом, мне сказали, что надо всё равно звонить предварительно и спрашивать готов ли паспорт (в бумажном виде). А то у них программа на сайте может показать, что паспорт готов, но в реале он ещё не напечатан/или не доделан до конца (вклейка фото, печати и т.д.). Как-то так... точно не помню...
Но в моём случае паспорт оказался готов в реале и я его забрал.
Хотя когда я последний раз подавал документы, девушка при мне задавала вопрос насчёт того, чтобы пораньше получить. Ей сказали, что в течение 3-его месяца (я ещё удивился, что месяц, а не неделя-две) позванивайте периодически по одному из телефонов, что указаны на квитанции.

Ну что же, в таком случае ещё проинформирую.
Одно время была такая тема, что надо было оплачивать пошлину только через банк. Сейчас опять можно наликом. Ну я значит и оплатил утром того же дня, когда пошел в консульство. Подал документы, пошел оплачивать. А мне кассирша заявляет, что у них типа всё вчерашним днём проходит. Я спрашиваю с какого хера?! Когда платежи между банками идут час-полтора. (У меня счёт в кредитном банке, а у них в swed-банке.) А она мне опять... у нас такой договор... Я ей говорю, ну и что мне теперь делать? Приходите завтра! И это после -2-ух часового стояния в очереди на морозе! Во общем я тоже в атаку пошел. Что за херня?! Я ведь всё оплатил и платёж мой уже прошел в чём проблема то? Позвонила кому-то там, спросила что со мной делать. После чего выдала мне квитанцию, записав номер моего мобильника, сказала что если денег завтра не будет, то будут звонить. (Естественно никто не позвонил )
После этого я зашел в кредитный банк и обрисовал свою ситуацию. Посмотрели, сказали что платёж прошел успешно без всяких проблем и что деньги уже на счету консульства. Также сказали, что так не может быть, что у них платежи проходят вчерашним днём. Платежи между банками происходят 10 раз в день с интервалом в час. Видимо они берут в бухгалтерии выписку за вчерашний день и по ней кассирша смотрит, кто оплатил. Но выписку то ведь можно взять в интернет-банке за любой период времени в режиме он-лайн! Во общем какая-то там у них хрень... Кассир походу не имеет доступа к счёту в банке. Бухгалтер даёт ей выписку за вчерашний день и она сверяет по этому списку.
Во общем если кто будет платить через банк, то платите заранее за день. Сегодня заплатили, завтра пошли в консульство.